Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Alexander Schmitt

By Alexander Schmitt

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1 Lemma. Es seien G eine (nicht notwendigerweise endliche) Gruppe und g ∈ G. Dann sind die Abbildungen λg : G −→ G h −→ g · h und ̺g : G −→ G h −→ h · g bijektiv. 2. Die Verkn¨upfungstafel einer endlichen Gruppe Beweis. Wir beweisen das Lemma f¨ur die Abbildung λg , g ∈ G. F¨ur die Injektivit¨at seien h1 , h2 ∈ G zwei Elemente, so dass g · h1 = g · h2 . Multiplikation mit g−1 liefert h1 = e · h1 = (g−1 · g) · h1 = g−1 · (g · h1 ) = g−1 · (g · h2 ) = (g−1 · g) · h2 = e · h2 = h2 . F¨ur die Surjektivit¨at sei h ∈ G.

SOn (Ê) existiert. Aus M = m(M) folgt m−1 (M) = m−1 m(M) = (m−1 · m)(M) = M. 9 Beispiele. i) Diedergruppen. Es seien n ≥ 3 und M ⊂ Ê2 das regelm¨aßige n-Eck mit Ecken auf dem Einheitskreis. Die Symmetriegruppe Dn := O(M) wird Diedergruppe genannt. 1. Definition einer Gruppe und erste Beispiele ⋆ Drehungen in D n. , n − 1. Es gibt also n solche Drehungen. ⋆ Spiegelungen in D n. Hier m¨ussen wir zwei F¨alle unterscheiden: – Wenn n gerade ist, dann gibt es n/2 Spiegelungen an Achsen, die durch gegen¨uberliegende Ecken laufen, und n/2 Spiegelungen, die durch die Mittelpunkte zweier gegen¨uberliegender Kanten verlaufen.

39 Kapitel II. Gruppentheorie . Dabei darf ein Stein einen benachbarten Stein u¨ berspringen, der sodann vom Spielfeld entfernt wird: , , . Ziel des Spiels ist, am Ende nur einen einzigen Stein in der Mitte des Spielfelds u¨ brig zu behalten. Die Regeln werden nun folgendermaßen modifiziert: Es wird nur noch gefordert, dass am Ende ein einziger Stein, egal wo, vorhanden ist. Wir stellen folgende Fragen: • Welches sind die m¨oglichen Endpositionen f¨ur den Stein? • Wird das Spiel durch die neuen Regeln einfacher?

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