Algorithmische Zahlentheorie, 1st Edition by Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

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Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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Example text

X r ) E A ist genau dann invertierbar, wenn alle Xi E Ai invertierbar sind und es gilt x-I = (x11, ... ,x;I). Wir bezeichnen allgemein fiir einen Ring R mit Einselement mit R* die multiplikative Gruppe seiner invertierbaren Elemente. Mit dieser Bezeichnung hat man also ... A * = Ai X ... X A;. B. gilt im direkten Produkt zweier Ringe mit Einselement stets (1,0)· (0,1) = (0,0). Fiir den nachsten Satz machen wir weiter folgende Vorbemerkung: Sei m > 1 eine natiirliche Zahl und m' ein Teiler von m.

5. Definition. Seien AI, . , Ar Ringe. Unter dem direkten Produkt der Ringe AI, ... h. fUr (XI, ... ,Xr),(YI, ... ,Yr) E A sel (Xl, ... , Xr ) + (YI, ... , Yr) := (Xl + YI, ... , xr + Yr), ( XI, ... , Xr ) . (YI , ... , Yr) := (X I YI , ... , XrYr ). Die Ringaxiome fUr die so definerte Addition und Multiplikation auf A = Al X X Ar sind leicht nachzupriifen. Das Nullelement von A ist (0, ... ,0). Raben aIle Ringe Ai ein Einselement, so ist (1, ... , 1) das Einselement des direkten Produkts. Ein Element X = (Xl' ...

Jeder euklidische Ring R ist ein Hauptidealring. Beweis. 3. Sei I C Rein Ideal. Es ist zu zeigen, dass I Hauptideal ist. Der Fall I = {O} ist trivial. Wir k6nnen also voraussetzen, dass I " {O} i- 0. Wil' betraehten die Menge M := {j3(x) : x E I" {O}} C N. h. es existiert ein dEl" {O}, so dass j3(d) ~ j3(x) fUr alle x E I " {O}. Wir behauptennun I = (el). Die Inklusion (d) C I ist trivial. Zur Umkehl'ung: Sei x E I beliebig. Wir fiihren Division mit Rest dureh, x = gel + r, wobei r = 0 oder j3(r) < j3(el).