Coding for Data and Computer Communications by David Salomon

By David Salomon

Details an important strategies used to make the garage and transmission of knowledge quick, safe, and reliable.

Accessible to either experts and nonspecialists: Avoids advanced arithmetic

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1 Lemma. Es seien G eine (nicht notwendigerweise endliche) Gruppe und g ∈ G. Dann sind die Abbildungen λg : G −→ G h −→ g · h und ̺g : G −→ G h −→ h · g bijektiv. 2. Die Verkn¨upfungstafel einer endlichen Gruppe Beweis. Wir beweisen das Lemma f¨ur die Abbildung λg , g ∈ G. F¨ur die Injektivit¨at seien h1 , h2 ∈ G zwei Elemente, so dass g · h1 = g · h2 . Multiplikation mit g−1 liefert h1 = e · h1 = (g−1 · g) · h1 = g−1 · (g · h1 ) = g−1 · (g · h2 ) = (g−1 · g) · h2 = e · h2 = h2 . F¨ur die Surjektivit¨at sei h ∈ G.

SOn (Ê) existiert. Aus M = m(M) folgt m−1 (M) = m−1 m(M) = (m−1 · m)(M) = M. 9 Beispiele. i) Diedergruppen. Es seien n ≥ 3 und M ⊂ Ê2 das regelm¨aßige n-Eck mit Ecken auf dem Einheitskreis. Die Symmetriegruppe Dn := O(M) wird Diedergruppe genannt. 1. Definition einer Gruppe und erste Beispiele ⋆ Drehungen in D n. , n − 1. Es gibt also n solche Drehungen. ⋆ Spiegelungen in D n. Hier m¨ussen wir zwei F¨alle unterscheiden: – Wenn n gerade ist, dann gibt es n/2 Spiegelungen an Achsen, die durch gegen¨uberliegende Ecken laufen, und n/2 Spiegelungen, die durch die Mittelpunkte zweier gegen¨uberliegender Kanten verlaufen.

39 Kapitel II. Gruppentheorie . Dabei darf ein Stein einen benachbarten Stein u¨ berspringen, der sodann vom Spielfeld entfernt wird: , , . Ziel des Spiels ist, am Ende nur einen einzigen Stein in der Mitte des Spielfelds u¨ brig zu behalten. Die Regeln werden nun folgendermaßen modifiziert: Es wird nur noch gefordert, dass am Ende ein einziger Stein, egal wo, vorhanden ist. Wir stellen folgende Fragen: • Welches sind die m¨oglichen Endpositionen f¨ur den Stein? • Wird das Spiel durch die neuen Regeln einfacher?

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