Erkundungen zum Eulerschen Polyedersatz: Genetisch, by Stephan Berendonk

By Stephan Berendonk

Mathematische Resultate werden häufig in einer Weise dargestellt, die kaum noch Einsicht in die Entdeckungsgeschichte der Resultate gewährt. Viele typische Vorgehensweisen, die beim Betreiben von Mathematik eine wichtige Rolle spielen, wie z.B. Analogiebildung, induktives Schließen oder das Aufspüren versteckter Annahmen, haben in der klassischen Anordnung des Wissens nach dem Schema „Definition, Satz, Beweis“ keinen Platz. Für das Lehren und Lernen von Mathematik als einer schöpferischen Tätigkeit kann eine Darstellung des Stoffes hilfreich sein, die stärker den Prozess des Entdeckens als das fertige Resultat betont. Stephan Berendonk liefert eine solche dem Entstehen von Mathematik zugewandte Darstellung für den Eulerschen Polyedersatz.

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1750), S. 9. 24 1 Entdeclrungsgeschichten zum Eu10rschen Polyedersatz kein Zweifel, dass die Stereometrie zum selben Grad der Vervol\kommnung empor g<>führt wird wie die Geometrie". 29 Es gibt viele Beweise zum Eulerschen Polyederastz. Wir sind vor allem an den Wegen interessiert, die zu diesen Beweisen hinfiihren. Grundlagen der Lehre von den Körpern", sondern in einem ein Jahr später verfassten Aufsatz mit dem Titel ,,Dernonstratio nonnullarum insignium proprietatum qnibus solida hedris plasa sunt praedita", zu deutsch, ,,Beweis einiger ausgezeichneter Eigenschaften, welchen von ebenen Seitenflächen eingeschlossene Körper unterworfen sind".

To combine two contradicting methodologica1 attitode•. It i. to a eertain extent based upon the critieal methodology that carne to dominate mathernatie. in the course ofthe 19th century. It is also based upon a less critica1 methodology that quickly presents genera1izations and speculations as theorems in a way which is alien to the critical methodology. Tbc dramatic effect is caused by the combination of those two contradietory elements. It i. possible to rewrite the dia10gue and to rep1ace all bold genera1izations by conjectures in the sense in which this word is usually now used in mathematics.

Polya beschreibt das Verhalten eines einzelnen Mathematikers, der nach der Lösung eines Problems oder einer Aufgabe sucht. Lakatos' Heuristik bezieht sich dagegen auf einen längerfristigen Prozess, an dem mehrere Mathematiker beteiligt sind und in der die Veränderung grundlegender Begriffe eine zentrale Rolle spielt. Wir werden nun Lakatos' Methode der Beweise und Widerlegungen am Beispiel des Eulerschen Polyedersatzes vorstellen. Danach werden wir fragen, ob Lakatos damit die wesentlichen Mechanismen mathematischer Entwicklung aufgedeckt hat, oder ob es noch Erweiterungen seiner Heuristik bedarf.

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