Facettenreiche Mathematik: Einblicke in die moderne by Prof. Dr. Dorothea Bahns (auth.), Prof. Dr. Katrin Wendland,

By Prof. Dr. Dorothea Bahns (auth.), Prof. Dr. Katrin Wendland, Prof. Dr. Annette Werner (eds.)

Dieser Band versammelt zweiundzwanzig spannende Beiträge, in denen verschiedene
Mathematikerinnen ihre Forschungsgebiete vorstellen. Dabei werden nur Schulkenntnisse
in Mathematik vorausgesetzt, und der Bogen wird von klassischen Resultaten
bis zur aktuellen Forschung gespannt.
Das Buch vermittelt eindrucksvoll den Facettenreichtum der modernen Mathematik
und lädt dazu ein, sich von der Faszination der Mathematikerinnen für ihre Forschungsgebiete
anstecken zu lassen.

Inhalt:
Fünfundzwanzig Mathematikerinnen berichten aus ihren Forschungsgebieten

Zielgruppe:
Mathematisch interessierte Leserinnen und Leser
Schülerinnen und Schüler der Oberstufe
Mathematiklehrerinnen und -lehrer
Studierende der Mathematik

Die Herausgeberinnen
Prof. Dr. Katrin Wendland, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. Annette Werner, Goethe-Universität Frankfurt/M.

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Yt ) die Stückzahl des Bonds. 4 Bewertung von Optionen im Cox-Ross-Rubinstein-Modell 33 Der Wert des Portfolios zur Zeit t direkt nach der Umschichtung ist dann ϕ Vt = αt St + βt Bt . Direkt vor der Umschichtung ist das Vermögen gegeben durch αt−1 St + βt−1 Bt . Wir nehmen an, dass im Gegensatz zur Realität keine Transaktionskosten7 anfallen. Eine Portfolio-Strategie ϕ heißt selbstfinanzierend, falls αt St + βt Bt = αt−1 St + βt−1 Bt für alle Zeitpunkte t = 1, 2, . . , T − 1 gilt. Das heißt, es findet kein Zuoder Abfluss von Geld statt: Wenn der Investor die neuen Preise Bt , St beobachtet, passt er sein Portfolio von (αt−1 , βt−1 ) zu (αt , βt ) an, ohne zusätzliches Vermögen hinzuzufügen oder Vermögen zu konsumieren.

In diesem Fall sagen wir, dass das verallgemeinerte Dreieck degeneriert ist. 6: Triangulierungen der gelochten Kreisscheibe In den folgenden beiden Beispielen sind verschiedene verallgemeinerte Dreiecke gezeigt. Beispiel (Kreisscheibe mit 3 Punkten und einem Loch) Bis auf Rotationen der ganzen Figur gibt es drei verschiedene Arten, eine solche Kreisscheibe zu triangulieren. 6 aufgezeigt. Beispiel (Kreisring mit 2 Punkten auf dem äußeren Rand und einem Punkt auf dem inneren Rand) Hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten, die Figur zu triangulieren.

Für T = 1 kann man das Problem direkt lösen. Setzen wir als Nutzenfunktion zum Beispiel U(x) = −e−γx für ein γ > 0 ein, so bekommen wir ϕ E[U(VT )] = p − e−γ β (1+r)+αS0 u + (1 − p) − e−γ β (1+r)+αS0 d . Diese Funktion müssen wir in (α, β ) maximieren unter der Nebenbedingung, dass ϕ v0 = V0 = β + αS0 . Aus der Nebenbedingung folgt β = v0 − αS0 . Oben eingesetzt liefert das p − e−γ (v0 −αS0 )(1+r)+αS0 u + (1 − p) − e−γ (v0 −αS0 )(1+r)+αS0 d . Bestimmt man jetzt die Maximumstelle über α ∈ R, bekommt man αS0 = 1−q − 1γ log( qp ) − log( 1−p ) .

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