Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 4: by Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Ewald Werner

By Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Ewald Werner

Ergänzend zu Teil four des Lehrbuchs „Technische Mechanik“ derselben Autoren enthält der Band die wichtigsten Formeln und zahlreiche vollständig gelöste Aufgaben. Behandelt werden: Hydromechanik, Grundlagen der Elastizitätstheorie, Statik spezieller Tragwerke, Schwingungen kontinuierlicher Systeme, Stabilitätstheorie, Viskoelastizität und Plastizität sowie numerische Methoden in der Mechanik. Bei der Aufgabengestaltung haben die Autoren besonderen Wert darauf gelegt, dass Nutzer Lösungswege eigenständig finden und lernen, Grundgleichungen zu erstellen.

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29 Die Turbine eines Wasserkraftwerks wird aus einem Speicherbecken gespeist. Der aus der D¨ use D austretende Strahl (Querschnittsfl¨ ache A) trifft auf den Schaufelkranz der Turbine. Dabei wird der Strahl symmetrisch aufgeteilt und so umgelenkt, dass er die Schaufeln unter dem Winkel α verl¨ asst. 1111111 0000000 0000000 1111111 0000 1111 0000000 1111111 0000 1111 0000000 1111111 0000 1111 0000000 1111111 0000 1111 0000000 1111111 p0 ρ ω R H A D α vD Wie groß ist die Kraft auf eine Schaufel bei einer Winkelgeschwindigkeit ω der Turbine?

Dies entspricht der Torricellischen Ausflussformel (Band 4, Gl. 39)). Die Bernoullische Gleichung f¨ ur die Punkte ① und ③ ρv12 /2 + p0 + 0 = ρv32 /2 + p3 + ρgz sowie die Kontinuit¨ atsgleichung A1 v1 = A1 v3 → v3 = v1 z h+l p0 liefern nun die Druckverteilung im Rohr: p3 = p0 − ρgz, 0 ≤ z < l. l Der Druckverlauf hat einen ¨ Sprung am Ubergang vom Beh¨ alter zum Rohr (z = l). Am oberen Ende des Fallrohrs ist der Druck am kleinsten: pmin = p0 − ρgl. p0 +ρgh p0 −ρgl 0 p0 p Da der Druck nicht negativ sein kann (genauer: nicht kleiner als der Dampfdruck pD ≈ 0), folgt daraus p0 − ρgl ≥ 0 → lmax = p0 .

Transformationsbeziehungen: εij = εkl aik ajl . • Invarianten: wie bei Spannungstensor. • Hauptdehnungen: ε1 , ε2 , ε3 , (ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 ) sind Station¨ arwerte (Extrema) der Dehnung, errechnen sich analog zu den Spannungen, treten im Hauptachsensystem auf. Hauptachsenrichtungen errechnen sich analog zu den Hauptachsenrichtungen bei den Spannungen. • Verzerrungstensor im Hauptachsensystem: ε= ε1 0 0 0 ε2 0 0 0 . ε3 • Aufspaltung des Verzerrungstensors: εm = 1 3 εkk = 1 (ε1 3 εv = 3εm = εkk εm δij + ε2 + ε3 ) εij = εm δij + eij mit = mittlere Dehnung, = Volumendehnung, = Kugeltensor (Volumen¨ anderung), eij = εij − εm δij = Verzerrungsdeviator.

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