Kontinuums- und Kontaktmechanik: Synthetische und by Kai Willner

By Kai Willner

Ziel des Buches ist die Beschreibung thermoelastischer Kontaktprobleme mit den Mitteln der Kontinuumsmechanik. Dabei werden 1. die Konzepte der Kontinuumsmechanik und der Kontaktmechanik, 2. die synthetische und die analytische Beschreibung und three. alle wesentlichen mathematischen Hilfsmittel in einer einheitlichen shape präsentiert. Die ungewöhnliche Behandlung sowohl der synthetischen als auch der analytischen Darstellung inklusive der beiden wesentlichen mathematischen Hilfsmittel, nämlich der Tensorrechnung und der Variationsrechnung, bietet dem Leser eine einheitliche Darstellung des gesamten Stoffes und erspart ihm das gleichzeitige Arbeiten mit verschiedenen Texten.

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Als sog. Drehtensor bei der Drehung von Starrkorpern Anwendung findet. h. die relative Lage ~weier Vektoren, nach Abbildung mittels Qungeandert bleibt. Der Tensor Qenthalt damit lediglich drei, fur die Beschreibung einer Drehung erforderliche, unabhangige Parameter wie Euler-Winkel, Kardan-Winkel etc. Multiplikative Zerlegung. 3 -+ Jeder nicht-singuliire Tensor f kann eindeutig in einen orthogonalen Tensor und einen positiv-definiten symmetrischen Tensor multiplikativ zerlegt werden. efiniten symmetrischen Tensoren Tensor R in der Form ~olare Zerlegung in einen '0 bzw.

139) _Ski ergeben. von Vek~oryrodukt ren T, S E £3 ® £3 if· -+ Tensoren. Das Vektorprodukt zweier Tenso- ist definiert uber -+ -+ - (T x S) = - T . (if x S) . " -+ -+ -+ --+T T x S = "t(T§) -> S E £3 +------+ ist dann -+ -+ Tx§ = TkismnEkmj9lnej . 4 Tensoralgebra 33 Axialer Vektor. Da ein antimetrischer Tensor nur drei voneinander unabhangige Koordinaten besitzt, laBt sich ihm ein spezieller Vektor zuordnen. 144) eindeutig angegeben werden. 145) Der einem symmetrischen Tensor zugeordnete axiale Vektor ist damit offensichtlich der Nullvektor O.

Deshalb sind die Gro~en h, 12 , h ebenfalls invariant. Sie heiBen deshalb In'l}prianten des Tensors gen Tensors 2. Stufe S lauten h = sz T. Die Invarianten eines beliebi- = Al + A2 + A3 = ~(S:Sf - szksD = AIA2 + A2A3 + A3AI 13 = det SZk = AIA2A3 . 2 (Caley-Hamiltonsches Theorem) Ein Tensor erfullt stets seine eigene charakteristische Gleichung. 122) Eine praktische Anwendung dieses Satzes ist zum Beispiel die explizite Berechnung des inver sen Tensors. ,. ,. ,. ::::: """-1""" T-2 -hT+hg-hT =0. 123) und damit die explizite Darstellung f-l = ;3 (f2 -hf+hff) .

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