Probabilites et processus stochastiques by Yves Caumel (auth.)

By Yves Caumel (auth.)

Ce livre a pour objectif de fournir au lecteur les bases théoriques nécessaires � los angeles maîtrise des thoughts et des méthodes utilisées en théorie des probabilités, telle qu’elle s’est développée au dix-septième siècle par l’étude des jeux de hasard, pour aboutir aujourd’hui � l. a. théorisation de phénomènes aussi complexes et différents que les processus de diffusion en body ou l’évolution des marchés financiers.

Après un exposé introductif � los angeles théorie probabiliste dont les liens avec l’analyse fonctionnelle et harmonique sont soulignés, l’auteur présente en détail une sélection de processus aléatoires classiques de kind markoviens � temps entiers et continus, poissoniens, stationnaires,etc., et leurs diverses functions dans des contextes tels que le traitement du sign, l. a. gestion des stocks,la modélisation des documents d’attente, et d’autres encore. Le livre se conclut par une présentation détaillée du mouvement brownien et de sa genèse.

Cent cinquante exercices (pour los angeles plupart corrigés), ainsi qu’un ensemble de notules historiques ou épistémologiques permettant d’illustrer l. a. dynamique et le contexte de découverte des théories évoquées, viennent compléter cet ouvrage. Celui-ci sera particulièrement adapté aux élèves ingénieurs ainsi qu’aux étudiants des 1er et 2e cycles universitaires dans des disciplines aussi variées que les mathématiques, l. a. body, l’automatique, l’économie et l. a. gestion.

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Variables al´eatoires 21 ses ´etats possibles {absence, pr´esence}, muni de la tribu Ti = P(Ωi ) et de la probabilit´e P, d´efinie par : Pi (pr´esence) = p et Pi (absence) = 1 − p. L’espace produit Ω = Πni=1 Ωi d´ecrit les ´etats possibles de l’ensemble des ´etudiants. On le munit de la probabilit´e produit P d´efinie par le th´eor`eme pr´ec´edent. a. S d´efinie par : S : ω = (ω1 , . . , ωn ) ∈ Ω −→ S(ω ) = ∑i ωi ∈ {0, 1, . . , n} ; S(ω ) repr´esente le nombre de pr´esents. , n} : PS (k) = P(S−1 (k)) = P({ω tels que S(ω ) = k}).

1) Montrer que P(XA > XB ) > 12 , alors que E(XA ) < E(XB ). (2) Soit un troisi`eme d´e C dont l’ensemble des faces est {1, 5, 6, 13, 14, 15}. Montrer que B domine C et que, contrairement a` l’intuition de transitivit´e de la relation de domination, C domine A. Ce paradoxe est a` rapprocher du paradoxe 24 Probabilit´es et processus stochastiques de Condorcet. Il est facile d’imaginer un jeu, o` u face a` un adversaire qui aura choisi l’un des trois d´es, il vous suffira de choisir parmi les deux autres celui qui domine le d´e choisi par votre adversaire pour l’emporter avec une probabilit´e sup´erieure a` 0,5.

1 donc K(xm , α ) = α xm (2) IE(X n ) fini si et seulement si α + 1 − n > 1, c’est-` a-dire α > n. D’o` u: α xm = αα−n . a. 1 Un exemple On lance un projectile ponctuel (id´ealisation concevable ` a l’´epoque du laser et de la haute r´esolution) sur une cible circulaire D de rayon 1 centr´ee en 0, selon une probabilit´e uniform´ement r´epartie sur la cible. , o` u (X,Y ) sont Pour tout bor´elien B du disque D, P((X,Y ) ∈ B) = Aire(B) π les coordonn´ees du point d’impact sur la cible. La probabilit´e PX,Y du vecteur al´eatoire (X,Y ) est d´efinie par la densit´e constante sur le disque : fX,Y (x, y) = 1 1D (x, y).

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